איך פותרים מתמטיקה מומצאת: שיטה, סוגי חוקים ומלכודות

שאלת מתמטיקה מומצאת לא בודקת מה למדתם בבית הספר. היא מגדירה סימן חדש, למשל ▽ או ⊕, ומבקשת מכם להפעיל אותו בדיוק. במאמר נעבור על שיטת פתרון, על שבע משפחות החוקים שמצאנו ב-60 שאלות הרמה הקלה והבינונית שלנו, ועל הרמה הקשה, שבה כבר צריך מושגים מתורת החבורות. כל דוגמה היא שאלת תרגול פתוחה שלנו או פריט שכתבנו למאמר, ומסומנת בהתאם. אף אחת מהן לא הועתקה מהמיון.

ארבעה צעדים לכל פעולה מומצאת

בשאלות הגדרה אין צורך לנחש את הכלל, כי הוא כתוב בשאלה, ולכן העבודה היא דיוק. שני צעדים שקל לדלג עליהם הם בדיקה על מספרים קטנים בשני הסדרים לפני החישוב, ואימות התשובה בדרך שנייה אחריו. הם באים בנוסף לקריאה עד הסוף ולהצבה מבפנים החוצה.

1. קראו עד הסוף וסמנו איזה מקום בהגדרה הוא הראשון ואיזה השני.
2. בדקו בשני הסדרים. הציבו 1 ו-2, ואז 2 ו-1. כך רואים אם הפעולה סימטרית, אם ערך מוחלט הופך סימנים ואם התוצאה יוצאת מהקבוצה.
3. הציבו מבפנים החוצה, וכתבו כל תוצאת ביניים בשורה משלה.
4. אמתו בדרך שנייה. הציבו את התשובה בחזרה, חשבו בסדר אחר או המירו לעשרוני.

שאלה על תכונה, כמו "האם הפעולה חילופית", עובדת אחרת: כדי לענות "לא" מספיקה דוגמה נגדית אחת, וכדי לענות "כן" צריך להראות שהכלל מתקיים תמיד. אם במקום נוסחה נותנים כמה דוגמאות, בדקו קודם סכום, מכפלה וסכום ריבועים. אם מבקשים נעלם, הציבו את מה שידוע ופתרו משוואה.

שבע משפחות חוקים ועוד תורת החבורות: כך מתחלקות 90 השאלות

ב-60 שאלות הרמה הקלה והבינונית יש שבע משפחות, וב-30 שאלות הרמה הקשה יש משפחה אחת גדולה, תורת החבורות. הטבלה מראה כמה שאלות יש בכל משפחה ובכל רמה. החלוקה היא שלנו ולא רשימה רשמית, והיא מתארת את המאגר ולא את המיון.

המילה mod או "מודולו" מופיעה בנוסח של 27 מתוך 60 השאלות הקלות והבינוניות. ב-90 השאלות אין אף אחת שנותנת דוגמאות ומבקשת לנחש את הכלל, ואין אף אחת שמבקשת למצוא נעלם. ייתכן שבמיון עצמו יש צורות כאלה, ואין לנו מקור שמאשר או שולל. במבחן הלדוגמה החינמי במתמטיקה מומצאת כן יש שאלות כאלה.

נוסחאות, סוגריים וחילופיות: הצבה מדויקת

19 מתוך 60 השאלות הקלות והבינוניות הן הצבה בנוסחה: פעולה שמוגדרת במשוואה אחת, לפעמים עם סוגריים ולפעמים עם שאלה על חילופיות. אלה כמעט שליש מהשאלות האלה, בלי מושגים מתקדמים. הטעויות כאן נובעות מחיפזון: מחליפים בטעות את סדר המספרים, מדלגים על ערך מוחלט או עוצרים באמצע ההגדרה.

בביטוי מקונן חשבו קודם את הסוגריים הפנימיים, והכניסו את התוצאה למקום המתאים בהגדרה: אם a מוכפל, גם היא תוכפל. שאלות חילופיות דורשות בדיקה בשני הכיוונים. הנה אחת מסט פתוח ברמה בינונית.

הפתרון: התשובה הראשונה. 5 △ 3 = |5 - 6| = 1, ו-3 △ 5 = |3 - 10| = 7. כיוון ש-1 שונה מ-7, הפעולה אינה חילופית, ודוגמה נגדית אחת מספיקה. השנייה והרביעית מכריזות על חילופיות, אבל החישוב מראה שהתוצאות שונות. השלישית מחליפה בין שתי התוצאות, כלומר הציבה את המספרים במקומות הלא נכונים.

חשבון מודולרי ובינארי: שני כלים מוכנים

חשבון מודולרי הוא חישוב עם שארית. לפי הערך בוויקיפדיה על חשבון מודולרי, בחשבון מודולו 7 מתקיים 5 + 6 = 4, כי 11 חלקי 7 משאיר שארית 4. 23 מתוך 60 השאלות עוסקות בו או בבינארי: 15 במודולרי ו-8 בבינארי.

מלכודת קלאסית במודולרי היא להשאיר את התוצאה לפני לקיחת השארית: 5 + 4 מודולו 7 הוא 2 ולא 9. בבינארי כל מקום הוא חזקה של 2, מהספרה האחרונה ואילך: 1, 2, 4, 8. לכן 1101 הוא 8 + 4 + 0 + 1 = 13.

טבלאות ותכונות: נייטרלי, הופכי ושאלות של כן ולא

18 מתוך 60 השאלות מציגות טבלת פעולה או שואלות על תכונה של פעולה. האיבר הנייטרלי משאיר כל איבר כמו שהוא, וההופכי של איבר הוא האיבר שהפעולה איתו נותנת את הנייטרלי. בוויקיפדיה הנייטרלי נקרא "איבר היחידה". בטבלה הנייטרלי הוא האיבר ששורתו ועמודתו חוזרות על הכותרות, ואת ההופכי מוצאים בשורת האיבר, בתא שבו מופיע הנייטרלי.

הפתרון: c. בשורה של b הנייטרלי a מופיע בעמודה של c, כלומר b ⊕ c = a, ובכיוון ההפוך c ⊕ b = a גם כן. התשובה b מפתה כי היא האיבר עצמו, אבל b ⊕ b = c ולא הנייטרלי.

כשהפעולה נתונה בנוסחה, מוצאים נייטרלי בעזרת משוואה: בפעולה a ▽ b = a + b - 4 דורשים a + e - 4 = a, ומכאן e = 4.

האם זו חבורה? ארבעה תנאים ובדיקה אחת שמפילה

חבורה היא קבוצה עם פעולה שמקיימת ארבעה תנאים: סגירות, אסוציאטיביות, איבר נייטרלי והופכי לכל איבר. הערך בוויקיפדיה על חבורה מונה שלושה תנאים, כי הסגירות כלולה כבר בהגדרת הפעולה. כדי לענות "לא" מספיק למצוא תנאי אחד שנכשל, וכדי לענות "כן" צריך לאמת את כולם.

הפתרון: התשובה האחרונה. סגירות: מכפלה של שני מספרים מ-1 עד 4, אחרי שארית מחלוקה ב-5, לעולם אינה 0, כי 5 ראשוני. אסוציאטיביות: כפל רגיל אסוציאטיבי, והשארית לא משנה את זה. נייטרלי: 1. הופכיים: 1 הופכי ל-1, 2 ל-3 (כי 6 משאיר שארית 1), ו-4 ל-4 (כי 16 משאיר שארית 1). שימו לב שרק התשובה האחרונה מתחילה ב"כן", אבל זה מבנה של השאלה ולא הוכחה: היא נכונה רק מפני שבדקנו את כל התנאים.

במאגר יש גם שאלה כמעט זהה מודולו 6, והתשובה בה הפוכה: ל-2 אין הופכי, כי כפל ב-2 מודולו 6 נותן רק תוצאות זוגיות, ולכן לא 1.

הרמה הקשה: כשהכלל המומצא הוא תורת החבורות

ב-30 שאלות הרמה הקשה במאגר שלנו הכלל כבר אינו מומצא אלא מושג אמיתי: 27 מהשאלות עוסקות בחבורות, ו-3 בפונקציית אוילר. כל סטי הרמה הזאת בתשלום, ולכן לא נצטט מהם. אין לנו מקור שאומר אם מושגים כאלה מופיעים במיון עצמו, ולכן כדאי להכיר אותם מראש.

מונחים בקצרה: תת-חבורה היא קבוצה קטנה בתוך החבורה שהיא בעצמה חבורה; איבר יוצר הוא איבר שהחזקות שלו מייצרות את כל החבורה; ו-φ(n) סופרת כמה מספרים מ-1 עד n זרים ל-n. הסדר של איבר הוא מספר הצעדים הקטן ביותר שמחזירים אותו לנייטרלי. חלוקת 30 השאלות:

• סדר של איבר: 8
• תת-החבורה שאיבר מייצר: 4
• הופכי בתוך חבורה נתונה: 4
• איברים יוצרים של חבורה: 4
• ספירת תת-החבורות של חבורה: 3
• משפט לגראנז': 3
• פונקציית אוילר: 3
• האם פעולה נתונה היא חבורה: 1

לפי משפט לגראנז', הסדר של כל איבר בחבורה סופית מחלק את מספר האיברים בחבורה, ולכן אפשר לפסול בבת אחת תשובות שאינן מחלקות אותו. הדוגמה הבאה כתובה במיוחד למאמר.

הפתרון: n = 7. הכפולות של 6 הן 6, 12, 18, 24, 30, 36 ו-42, ומודולו 21 הן נותנות 6, 12, 18, 3, 9, 15 ו-0. רק בכפולה השביעית חוזרים ל-0. קיצור: 21 חלקי המחלק המשותף הגדול של 21 ו-6, שהוא 3. לפי לגראנז' n מחלק את 21, ולכן 4 ו-14 נפסלות מיד. את 3 פוסלים בבדיקה: 3 פעמים 6 הוא 18, לא 0.

איך מתרגלים

מתחילים ברמה הקלה, עוברים לבינונית, ורק אז לקשה, ובכל סט מסווגים כל טעות: לא קראתי את ההגדרה, הצבתי נכון וחישבתי לא נכון, או לא הכרתי את המושג. אין לנו נתוני ניסיונות של מועמדים, ולכן הבדיקה היא שלכם: האם אותה מלכודת חוזרת. יש ארבעה סטים פתוחים, שלושה קלים ואחד בינוני.

את הסטים עצמם תמצאו בעמוד המתמטיקה המומצאת. את הטכניקות לשאר סוגי השאלות במיון תמצאו במאמר הטכניקות לשחקים-חבצלות, ואת ההבדל מול שפה מומצאת בשש השאלות על שפה מומצאת.

פרטי המיון המחייבים נמצאים רק באתר המתגייסים, ולא מצאנו מקור רשמי שמפרט את סוגי השאלות בכל פרק.